要点回顾

编写人：2023级 计算机科学与技术(脑科学与人工智能) 陈力琰（要点回顾）

以下收录的是笔者个人在学习这门课程时，比较困惑的几个 key points，不保证是考试重点。

Lebesgue可测函数列的收敛性

Def

• 一致收敛：

  \(f_1(x),f_2(x),...,f_k(x),...\)是定义在\(E\)上的实值函数，任意\(\epsilon>0\)，存在\(K\in\mathbb{N}\)，对任意\(k\geq K\)，任意\(x\in E\)，有 $$ |f_k(x)-f(x)|<\epsilon $$ 则称\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上一致收敛到\(f\)，记作\(f_k\Rightarrow f\)或者\(f\overset{u}\rightarrow f\).

• 几乎一致收敛：

  \(\forall\delta>0,\exist E_{\delta}\subset E\)，使得\(m(E\backslash E_{\delta})<\delta\)，在\(E_{\delta}\)上\(f_k\Rightarrow f\)，则称\(\{f_k(x)\}\)在\(E_{\delta}\)上几乎一致收敛到\(f\)，记作\(f_k\overset{a.u.}\rightarrow f\).

• 几乎处处收敛（点点）：

  \(f_1(x),f_2(x),...,f_k(x),...\)是定义在\(E\)上的实值函数，若存在\(E\)中的点集\(Z\)，\(m(Z)=0\)，对任意\(x\in E\backslash Z\)，有 $$ \underset{k\rightarrow \infty}{\text{lim}}f_k(x)=f(x) $$ 则称\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上几乎处处收敛于\(f(x)\)，记作\(f_k\rightarrow f,a.e.[E]\)或\(f_k\overset{a.e.}\rightarrow f\).

• 依测度收敛：

  \(f_1(x),f_2(x),...,f_k(x),...\)是定义在\(E\)上几乎处处有限的可测函数，任意\(\epsilon > 0\)，有 $$ \underset{k\rightarrow\infty}{\text{lim}}\hspace{0.1cm}m(E(|f_k-f|>\epsilon))=0 $$ 则称\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上依测度收敛到\(f(x)\)，记作\(f_k\overset{m}\rightarrow f\).

几种收敛性之间的关系

• 若\(f_n\overset{a.u.}\rightarrow f\)，则\(f_n\rightarrow f,a.e.[E]\).（Cautious：这个证明是自己乱写的）

  Tip

  \(f_n\overset{a.u.}{\rightarrow}f\)，则任意\(\epsilon=\frac{1}{k(k+1)}\)，存在\(E_k\sub E\)，\(\mu(E_k)<\frac{1}{k(k+1)}\)，在\(E\backslash E_k\)上，\(f_n\)一致收敛到\(f\)。定义 $$ E_0=\underset{m=1}{\overset{\infty}\bigcap}\underset{k\geq m}{\bigcup}E_k $$ 注意到\(\underset{k\geq m}{\bigcup}E_k\)是一列随着\(m\)递增单调递减（至少单调不增）的集合列，所以当\(m\rightarrow\infty\)时，有 $$ \underset{k\geq m}{\bigcup}E_k\rightarrow\underset{m=1}{\overset{\infty}\bigcap}\underset{k\geq m}{\bigcup}E_k=E_0\\ m(E_0)=m\left(\underset{m=1}{\overset{\infty}\bigcap}\underset{k\geq m}{\bigcup}E_k\right)=\underset{m\rightarrow\infty}{\text{lim}}m\left(\underset{k\geq m}{\bigcup}E_k\right)\leq \underset{m\rightarrow\infty}{\text{lim}}\underset{k=m}{\overset{\infty}\sum}m(E_k)\leq\underset{m\rightarrow\infty}{\text{lim}}\frac{1}{m}=0 $$ 即\(E_0\)是一个零测集。在\(E\backslash E_0\)上，\(f_n(x)\rightarrow f(x)\)一致收敛，因此\(f_n\rightarrow f\)在\(E\backslash E_0\)上点点收敛。

• 叶戈罗夫定理：\(m(E)<\infty\)，\(f_1(x),f_2(x),...,f_k(x),...\)和\(f(x)\)都是\(E\)上几乎处处有限的可测函数，若\(f_k\rightarrow f, a.e.[E]\)，则\(\{f_k(x)\}\)几乎一致收敛于\(f(x)\).

  Tip

  注意限制条件\(m(E)<\infty\)，否则有这样的反例：

  定义在\([0,\infty)\)上的函数列\(f_n(x)=\chi_{[n,n+1]}\)，任意\(x\in[0,\infty)\)都趋于0，\(f_n\)点点趋于0，但\(f_n\)并不几乎一致收敛到0（甚至不满足依测度收敛到0）.

  叶戈罗夫定理的证明略复杂，不在这里讨论了。

• \(m(E)<\infty\)，\(f_1(x),f_2(x),...,f_k(x),...\)是\(E\)上几乎处处有限的可测函数列，若\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上几乎处处收敛，则\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上依测度收敛到同一函数.

  Tip

  根据叶戈罗夫定理，\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上几乎一致收敛，记极限函数为\(f(x)\)。任意\(\delta>0\)，存在\(E_{\delta}\sub E\)，\(m(E\backslash E_{\delta})<\delta\)，在\(E_{\delta}\)上，\(f_k\rightarrow f\)。所以，任意\(\epsilon>0\)，存在\(K\in\mathbb{N}\)，当\(k>K\)时，有 $$ |f_k(x)-f(x)|<\epsilon,\quad\forall x\in E_{\delta} $$ 故\(E(|f_k-f|\geq \epsilon)\sub E\backslash E_{\delta}\)，\(m(E(|f_k-f|\geq \epsilon))<\delta\)，从而 $$ 0\leq\underset{k\rightarrow \infty}{\overline{{\text{lim}}}}m(E(|f_k-f|\geq \epsilon)\leq\delta $$ 令\(\delta\rightarrow 0\)，即 $$ \underset{k\rightarrow\infty}{\text{lim}}m(E(|f_k-f|\geq \epsilon))=0 $$

Something else

• 若函数列\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上依测度收敛于\(f(x)\)与\(g(x)\)，则\(f(x)\)与\(g(x)\)几乎处处相等（依测度收敛的唯一性）.

  Tip

  因为 $$ |f(x)-g(x)|\leq|f(x)-f_k(x)|+|f_k(x)-g(x)|,\quad a.e.[E] $$ 所以任意\(\epsilon>0\)，有 $$ E(|f-g|>\epsilon)\sub E(|f-f_k|>\epsilon/2)\cup E(|f_k-g|>\epsilon/2),\quad a.e.[E] $$ \(k\rightarrow\infty\)时，上式右端点集的测度趋于0，从而得 $$ \underset{k\rightarrow\infty}{\text{lim}}\hspace{0.1cm}m(E(|f-g|>\epsilon))=0 $$ 又由\(\epsilon\)的任意性，\(f(x)=g(x),a.e.[E]\)

• Riesz定理：设\(f(x)\)，\(\{f_k(x)\}\)是可测集\(E\)上几乎处处有限的可测函数，若\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上依测度收敛于\(f(x)\)，则存在子列\(\{f_{k_i}(x)\}\)，使得 $$ \underset{i\rightarrow\infty}{\text{lim}}f_{k_i}(x)=f(x),\quad a.e.[E] $$

  Tip

  因为\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上

可测函数 & 连续函数

• 鲁金定理：

  设\(f(x)\)是可测集\(E\)上的几乎处处有限的可测函数，则任意\(\delta>0\)，存在\(E\)中的一个闭集\(F\)，\(m(E\backslash F)<\delta\)，\(f(x)\)在\(F\)上连续.

  鲁金定理表明，在一定意义上，\(\mathbb{R}^n\)上的可测函数实际上很接近于连续函数。

  Note

  几乎处处有限\(\neq\)几乎处处有界： $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{if } x \in (0, 1] \\ +\infty, & \text{if } x = 0 \end{cases} $$ \(f(x)\)几乎处处有限，但并不几乎处处有界。

• 推论1：

  若\(f(x)\)是可测集\(E\subset \mathbb{R}^n\)上几乎处处有限的可测函数，则存在\(\mathbb{R}^n\)上的连续函数列\(\{g_k(x)\}\)，\(\{g_k(x)\}\)在\(E\)上几乎处处收敛到\(f(x)\).

• 引理：

  设\(F\sub \mathbb{R}^n\)是一个非空闭集，函数\(f(x)\)是\(F\)上的连续函数，则存在\(\mathbb{R}^n\)上的连续函数\(g(x)\)，使得\(g|_F=f\)，且\(\underset{x\in\mathbb{R}^n}{\text{sup}}|g(x)|=\underset{x\in F}{\text{sup}}|f(x)|\).

• 推论2：

  设\(f(x)\)是可测集\(E\)上的几乎处处有限的函数，则\(f(x)\)可测的充分必要条件是，存在\(E\)上连续函数序列\(\{g_k(x)\}\)，\(\{g_k(x)\}\)几乎处处收敛到\(f\).

Lebesgue可测函数的积分

Def

• 非负可测简单函数的积分：

  设\(h(x)\)是可测集\(E\sub\mathbb{R}^n\)上非负可测简单函数，即（注意，下式当中\(E_j\)是互不相交的集合，并起来是\(E\)） $$ h(x)=\underset{j=1}{\overset{m}\sum}a_j\chi_{E_j}(x),\quad x\in E $$ 定义\(h(x)\)在可测集\(E\)上的积分为 $$ \int_Eh(x)\text{d}x=\underset{j=1}{\overset{m}\sum}a_jm(E_j) $$

• 非负可测函数的积分：

  设\(f(x)\)是可测集\(E\)上的非负可测函数，定义函数\(f(x)\)在\(E\)上的积分

  \[ \int_E f(x)\text{d}x=\text{sup}\left\{ \int_E h(x)\text{d}x\mid h(x)\text{是非负可测简单函数，且}h(x)\leq f(x)\right\} \]

  这里的积分可以是\(+\infty\)，若积分\(<\infty\)，则称\(f\)在\(E\)上是Lebesgue可积的。

• 一般可测函数的积分：

  设\(f(x)\)是\(E\)上的可测函数，若\(f^+(x)\)和\(f^-(x)\)中至少有一个是可积的，则称 $$ \int_Ef(x)\text{d}x=\int_Ef^+(x)\text{d}x-\int_Ef^-(x)\text{d}x $$ 为\(f(x)\)在\(E\)上的积分。当上式右端两个积分值皆为有限时，称\(f(x)\)在\(E\)上是Lebesgue可积的。根据以上定义，显然还有 $$ \int_E|f(x)|\text{d}x=\int_Ef^+(x)\text{d}x+\int_Ef^-(x)\text{d}x $$

Lebesgue积分的极限定理

重点讨论Lebesgue积分与极限运算的交换定理

• Lebesgue基本定理：

  设\(\{f_n(x)\}\)是可测集\(E\)上的非负可测函数列，\(f(x)=\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}f_n(x)\)，则

  \[ \int_Ef(x)\text{d}x=\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}\int_Ef_n(x)\text{d}x \]

  Tip

  令 $$ S_k(x)=\underset{n=1}{\overset{k}\sum}f_n(x) $$ 则\(\{S_k(x)\}\)是非负可测函数列，\(S_k(x)\leq S_{k+1}(x)\)，且\(\underset{k\rightarrow \infty}{\text{lim}}S_k(x)=f(x)\)，故由Levi定理 $$ \int_Ef(x)\text{d}x=\underset{k\rightarrow\infty}{\text{lim}}\int_ES_k(x)\text{d}x=\underset{k\rightarrow\infty}{\text{lim}}\underset{n=1}{\overset{k}\sum}\int_Ef_n(x)\text{d}x=\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}\int_Ef_n(x)\text{d}x $$

• 推论：

  若\(\{E_n\}\)是可测集\(E\)的互不相交的可测子集， $$ E=\underset{n=1}{\overset{\infty}\bigcup}E_n $$ 当函数\(f(x)\)在\(E\)上有积分时，\(f(x)\)在每一个子集\(E_n\)上都是有积分的。特别地，当\(f\in L(E)\)时，\(f\in L(E_n)\)，并且 $$ \int_Ef(x)\text{d}x=\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}\int_{E_n}f(x)\text{d}x $$

  Tip

  因为 $$ f^+(x)=\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}f^+(x)\chi_{E_n}(x) $$ 所以，根据Lebesgue基本定理 $$ \int_{E}f^+(x)\text{d}x=\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}\int_Ef^+(x)\chi_{E_n}(x)\text{d}x=\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}\int_{E_n}f^+(x)\text{d}x $$ 类似地，有 $$ \int_{E}f^-(x)\text{d}x=\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}\int_{E_n}f^-(x)\text{d}x $$ 当\(f(x)\)在\(E\)上有积分时，积分 $$ \int_{E}f^+(x)\text{d}x\text{与}\int_{E}f^-(x)\text{d}x $$ 中至少有一个有限，不妨设积分 $$ \int_{E}f^+(x)\text{d}x<\infty $$ 于是正项级数 $$ \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}\int_{E_n}f^+(x)\text{d}x=\int_{E}f^+(x)\text{d}x<\infty $$ 收敛。特别地，每一个加项 $$ \int_{E_n}f^+(x)\text{d}x<\infty $$ 所以\(f(x)\)在\(E_n\)上有积分，进而有 $$ \begin{aligned} \int_{E}f(x)\text{d}x&=\int_{E}f^+(x)\text{d}x-\int_{E}f^-(x)\text{d}x\\ &=\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}\int_{E_n}f^+(x)\text{d}x-\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}\int_{E_n}f^-(x)\text{d}x\\ &=\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}\left(\int_{E_n}f^+(x)\text{d}x-\int_{E_n}f^-(x)\text{d}x\right)\\ &=\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}\int_{E_n}f(x)\text{d}x \end{aligned} $$ 当\(f\in L(E)\)时，积分 $$ \int_{E}f^+(x)\text{d}x\text{与}\int_{E}f^-(x)\text{d}x $$ 都有限，因此对于每个\(n\)，积分 $$ \int_{E_n}f^+(x)\text{d}x\text{与}\int_{E_n}f^-(x)\text{d}x $$ 都有限，故\(f\in L(E_n)\).

• Fatou引理：

  若\(\{f_n(x)\}\)是可测集\(E\)上非负可测函数列，则 $$ \int_{E}\underset{n\rightarrow\infty}{\underline{\text{lim}}}f_n(x)\text{d}x\leq \underset{n\rightarrow\infty}{\underline{\text{lim}}}\int_{E}f_n(x)\text{d}x $$

  Tip

  考虑非负函数\(g_n(x)=\text{inf}\{f_j(x)|j\geq n\}\)，那么\(g_n\)是一个单调递增的函数列，即 $$ g_n(x)\leq g_{n+1}(x),k=1,2,...\\ \Rightarrow \underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}g_n(x)=\underset{n\rightarrow\infty}{\underline{\text{lim}}}f_n(x),x\in E. $$ 从而由Levi定理得 $$ \int_{E}\underset{n\rightarrow\infty}{\underline{\text{lim}}}f_n(x)\text{d}x=\int_{E}\underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}g_n(x)\text{d}x=\underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}\int_{E}g_n(x)\text{d}x\leq \underset{n\rightarrow\infty}{\underline{\text{lim}}}\int_{E}f_n(x)\text{d}x $$ 举个例子，说明不等号是有可能成立的： $$ f_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}e^{-\frac{x^2}{2n}},\quad n=1,2,3,... $$ 则 $$ \int_{\mathbb{R}}f_n(x)\text{d}x=1 $$ 且\(\underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}f_n(x)\overset{\text{def}}{=}f(x)=0\)，于是 $$ \int_{\mathbb{R}}\underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}f_n(x)\text{d}x=0<1=\underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\text{d}x $$

• 控制收敛定理：

  给定可测集\(E\)，\(\{f_n(x)\}\)是可测函数列，且 $$ \underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}f_n(x)=f(x),\quad a.e.[E] $$ 若存在函数\(F(x)\in L(E)\)，任意\(n\)，有 $$ |f_n(x)|\leq F(x), \quad a.e.[E] $$ 则\(f_n(x)\in L(E),n=1,2,3,...\)，\(f(x)\in L(E)\)，且 $$ \underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}\int_Ef_n(x)\text{d}x=\int_Ef(x)\text{d}x $$ 函数\(F(x)\)称为函数列\(\{f_n(x)\}\)的控制函数。

  Tip

  因为 $$ |f_n(x)|\leq F(x), \quad a.e.[E] $$ 所以 $$ |f(x)|\leq F(x), \quad a.e.[E] $$ 因此\(f\in L(E)\)，考虑\(E\)上的可积函数列 $$ g_n(x)=|f_n(x)-f(x)|,\quad n=1,2,... $$ 则\(0\leq g_n(x)\leq 2F(x), n=1,2,...\)由Fatou引理得 $$ \int_E\underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}[2F(x)-g_n(x)]\text{d}x\leq\underset{n\rightarrow\infty}{\underline{\text{lim}}}\int_E[2F(x)-g_n(x)]\text{d}x $$ 即 $$ 2\int_EF(x)\text{d}x-\int_E\underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}g_n(x)\text{d}x\leq2\int_EF(x)\text{d}x-\underset{n\rightarrow\infty}{\overline{\text{lim}}}\int_Eg_n(x)\text{d}x $$ 由于\(\underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}g_n(x)=0,a.e.[E]\)，即得 $$ \underset{n\rightarrow\infty}{\overline{\text{lim}}}\int_Eg_n(x)\text{d}x=0 $$ 最后，由不等式 $$ | \int_Ef(x)\text{d}x-\int_Ef_n(x)\text{d}x|\leq\int_Eg_n(x)\text{d}x $$ 令\(n\rightarrow\infty\)，得证。

• 推论1：

  设\(E\)是可测集，\(\{f_n(x)\}\)是可测函数列，且\(\{f_n(x)\}\)依测度收敛到\(f(x)\)，若存在\(F(x)\in L(E)\)，满足 $$ |f_n(x)|\leq F(x),\quad a.e.[E],n=1,2,3... $$ 则\(f_n(x)\in L(E),n=1,2,3,...\)，\(f\in L(E)\)，且 $$ \underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}\int_Ef_n(x)\text{d}x=\int_Ef(x)\text{d}x $$

  Tip

  因为\(\{f_n(x)\}\)依测度收敛到\(f(x)\)，由Riesz定理知，存在子列\(f_{n_k}(x)\rightarrow f(x),a.e.[E]\)，故\(f(x)\in L(E)\).

  记\(g_n(x)=|f_n(x)-f(x)|\)，只要证明 $$ \underset{n\rightarrow\infty}{{\text{lim}}}\int_Eg_n(x)\text{d}x=0 $$ 如若不然，则有\(\epsilon>0\)与\(n_1<n_2<...\)，使得 $$ \int_Eg_{n_k}(x)\text{d}x\geq \epsilon,\quad k=1,2,3,... $$ 因为\(\{f_{n}\}\)依测度收敛到\(f(x)\)，函数列\(\{f_{n}\}\)有子列几乎处处收敛于\(f(x)\)，不妨设\(f_{n_k}\rightarrow f,a.e.[E]\)，即 $$ g_{n_k}\rightarrow 0,\quad a.e.[E] $$ 于是，根据控制收敛定理，有 $$ \underset{k\rightarrow\infty}{\text{lim}}\int_Eg_{n_k}(x)\text{d}x=0 $$ 这与上述不等式矛盾，得证。

• 推论2：

  设\(m(E)<\infty\)，\(\{f_n(x)\}\sub L(E)\)，且\(\{f_n(x)\}\)一致有界，即存在常数\(M>0\)，使得 $$ |f_n(x)|\leq M,\quad n=1,2,3,...\forall x\in E $$ 则当\(f_n(x)\rightarrow f(x),a.e.[E]\)，或\(\{f_n(x)\}\)依测度收敛到\(f(x)\)时，均有 $$ \underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}\int_Ef_n(x)\text{d}x=\int_Ef(x)\text{d}x $$

\(L^p\) space

Definition

Common Cases

\(E\)是\(\mathbb{R}^n\)中的可测集，\(f(x)\)是\(E\)上的可测函数，\(p\geq 1\)，记 $$ |f|_p=\left(\int_E|f(x)|^p\text{d}x\right)^{\frac{1}{p}} $$ 称\(\|f\|_p\)为\(f\)的\(L^p\)范数；

令 $$ L^p(E)={f\in\bold{m}(E)||f|_p<\infty} $$ 称\(L^p(E)\)为\(E\)上的\(L^p\)空间。

Infinite Cases

设\(f(x)\)是\(E\)上的可测函数，如果存在\(M>0\)，使得\(|f(x)|<M,a.e.[E]\)，称\(f(x)\)为本性有界；对一切如此的\(M\)取下确界，记为\(\|f\|_{\infty}\)，称它为\(f(x)\)的本性上界；用\(L^{\infty}(E)\)表示在\(E\)上由本性有界函数的全体构成的集合。

Inequalities

以下约定\(1\leq p,q\leq\infty\)，\(p^{-1}+q^{-1}=1\)，称\(p\)和\(q\)为共轭指数；若\(1<p<\infty\)，\(q=p/(p-1)\)。

1. Young's Inequality $$ ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q},\quad a,b\geq 0 $$

   Tip

   由于\(\ln x\)在\(x>0\)上是上凸函数（凹函数），所以\(\frac{1}{p}\ln a^p+\frac{1}{q}\ln b^q\leq\ln(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})\)，从而有 $$ ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q} $$

2. Hölder's Inequality $$ |fg|_1\leq|f|_p|g|_q,\quad f\in L^p(E),g\in L^q(E) $$

   Tip

   1. \(\|f\|_p=0\)或\(\|g\|_q=0\)，总有\(f(x)g(x)=0,a.e.[E]\)，不等式显然成立；

   2. \(\|f\|_p>0,\|g\|_q>0\)，令 $$ a=\frac{|f(x)|^p}{|f|_p^p},\quad b=\frac{|g(x)|^q}{|g|_q^q} $$ 带入Young's Inequality，有 $$ \frac{|f(x)g(x)|}{|f|_p|g|_q}\leq\frac{1}{p}\frac{|f(x)|^p}{|f|_p^p}+\frac{1}{q}\frac{|g(x)|^q}{|g|_q^q} $$ 将上式做积分，即可证得Hölder不等式。

3. Minkowski's Inequality $$ |f+g|_p\leq|f|_p+|g|_p $$

   Tip

   1. \(p=1\)或\(\infty\)，证明是简单的，从略；

   2. \(1<q<\infty\)，则有 $$ \int_E|f(x)+g(x)|^p\text{d}x=\int_E|f(x)+g(x)|^{p-1}|f(x)+g(x)|\text{d}x\\ \leq\int_E|f(x)+g(x)|^{p-1}|f(x)|\text{d}x+\int_E|f(x)+g(x)|^{p-1}|g(x)|\text{d}x $$ 现在将Hölder不等式分别用于上式右端两个积分，对第一个积分 $$ \int_E|f(x)+g(x)|^{p-1}|f(x)|\text{d}x\leq|f|_p\cdot ||f+g|^{p-1}|_q=|f|_p|f+g|_p^{p-1} $$ 同理，对第二个积分 $$ \int_E|f(x)+g(x)|^{p-1}|g(x)|\text{d}x\leq|g|_p\cdot ||f+g|^{p-1}|_q=|g|_p|f+g|_p^{p-1} $$ 将上面两不等式代入前式，即 $$ |f+g|_p^p\leq|f+g|_p^{p-1}(|f|_p+|g|_p) $$ 不妨设\(\|f+g\|_p\neq 0\)，上式两端除以\(\|f+g\|_p^{p-1}\)，即得三角不等式。

Basics

• 若\(m(E)<\infty\)，则

  1. 当\(p_1<p_2\)时，\(L^{p_2}(E)\subset L^{p_1}(E)\)；
  2. \(\underset{p\rightarrow\infty}{\text{lim}}\|f\|_p=\|f\|_{\infty}\).

  Tip

  1. 若\(p_2=\infty\)，显然有\(L^{\infty}(E)\subset L^{p_1}(E)\)： 若\(p_1<p_2<\infty\)，令\(r=p_2/p_1\)，\(r>1\)，记\(r^{\prime}\)为\(r\)的共轭指数，则由Hölder's Inequality，得

     \[ \begin{aligned} \int_{E}|f(x)|^{p_1}\text{d}x&=\int_{E}|f(x)|^{p_1}\cdot 1\text{d}x\\\\ &\leq\left(\int_{E}|f(x)|^{p_1r}\text{d}x\right)^{\frac{1}{r}}\left(\int_{E}1^{r^{\prime}}\text{d}x\right)^{\frac{1}{r^{\prime}}}\\\\ &=m(E)^{\frac{1}{r^{\prime}}}\left(\int_{E}|f(x)|^{p_2}\text{d}x\right)^{\frac{p_1}{p_2}}\\\\ \Rightarrow \|f\|_{p_1}&\leq m(E)^{\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}}\|f\|_{p_2} \end{aligned} \]

     只要\(f\in L^{p_2}(E)\)，\(\|f\|_{p_2}<\infty\)，则\(\|f\|_{p_1}<\infty\)，从而\(f\in L^{p_1}(E)\)，证得\(L^{p_2}(E)\subset L^{p_1}(E)\).

  2. 记\(M=\|f\|_{\infty}\)，则 $$ |f|_p\leq\left(\int_E M^p\text{d}x\right)^{\frac{1}{p}}\\ \Rightarrow \underset{p\rightarrow \infty}{\overline{{\text{lim}}}}|f|_p\leq M $$

卷积

Definition

• \(f(x)\)，\(g(x)\)是\(\mathbb{R}\)上的可测函数，若积分 $$ \int_{\mathbb{R}^n}f(x-y)g(y)\text{d}y $$ 存在，则称此积分为函数\(f\)与\(g\)的卷积，记为\(f*g(x)\).

运算律

• 交换律

  \[ f*g=g*f \]

  Tip

  证明：以\(\mathbb{R}\)为例，有

  \[ f*g=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g(y)\text{d}y \]

  令\(x-y=t\)，\(y=x-t\)，\(y\)从\(-\infty\)积分到\(+\infty\)，相应的\(t\)从\(\infty\)积分到\(-\infty\)，所以

  \[ \begin{aligned} f*g=&\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g(y)\text{d}y\\\\ =&\int_{\infty}^{-\infty}f(t)g(x-t)\text{d}(x-t)\\\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(x-t)\text{d}t\\\\ =&g*f \end{aligned} \]

• 结合律

  \[ f*(g*h)=(f*g)*h \]

  Tip

  证明是作业题，本题中默认\(f,g,h\in L^1\)，所以

  \[ \begin{aligned} f*(g*h)=&\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)(g*h)(y)\text{d}y\\\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)\left(\int_{-\infty}^{\infty}g(y-z)h(z)\text{d}z\right)\text{d}y\\\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g(y-z)h(z)\text{d}z\text{d}y\\\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g(y-z)h(z)\text{d}y\text{d}z\\\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g(y-z)\text{d}y\right)h(z)\text{d}z\\\\ \end{aligned} \]

  令\(y-z=t\)，\(y=z+t\)，内层积分中\(y\)从\(-\infty\)积分到\(\infty\)，所以\(t\)从\(-\infty\)积分到\(\infty\)，那么

  \[ \begin{aligned} f*(g*h)=&\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g(y-z)\text{d}y\right)h(z)\text{d}z\\\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(x-z-t)g(t)\text{d}t\right)h(z)\text{d}z\\\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}(f*g)(x-z)h(z)\text{d}z\\\\ =&(f*g)*h \end{aligned} \]

Properties

• Young's Inequality

  若\(f\in L^p(\mathbb{R}^n),1\le p\le \infty\)，\(g\in L^1(\mathbb{R}^n)\)，则\(f*g\in L^p(\mathbb{R}^n)\)，且 $$ |f*g|_p\le |f|_p|g|_1 $$

  如果从某种意义上说，\(L^p\)的性质比\(L^1\)要好一点（笔者个人不这么认为，笔者有限的知识看不出这个性质有什么好坏之分），那么卷积继承下来的是好的那一个。

  Tip

  证明

  注：以下所有的积分都是在整个\(\mathbb{R}^n\)上的，此处省略不写

  • \(p=\infty\)时

  \[ \begin{aligned} |f*g(x)|=&\Big|\int f(x-y)g(y)\text{d}y\Big|\\\\ \le &\int|f(x-y)g(y)|\text{d}y\\\\ \le&\|f\|_{\infty}\int|g(y)|\text{d}y\\\\ \le&\|f\|_{\infty}\|g\|_1 \end{aligned} \]

  • \(1\le p< \infty\)

  \[ \begin{aligned} |f*g(x)|\le&\int|f(x-y)||g(y)|\text{d}y\\\\ =&\int|f(x-y)||g(y)|^{\frac{1}{p}}|g(y)|^{1-\frac{1}{p}}\text{d}y\\\\ \end{aligned} \]

  根据Hölder不等式

  \[ \begin{aligned} &\|fg\|_1\le\|f\|_p\|g\|_q\\\\ \Rightarrow&\int|f(x)g(x)|\text{d}x\le\left(\int|f(x)|^p\text{d}x\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int|g(x)|^q\text{d}x\right)^{\frac{1}{q}} \end{aligned} \]

  其中\(p,q\)是共轭数，也就是说\(q=\frac{p}{p-1}\)，那么上式可以放缩

  \[ \begin{aligned} |f*g(x)|\le&\int|f(x-y)||g(y)|^{\frac{1}{p}}|g(y)|^{1-\frac{1}{p}}\text{d}y\\\\ \le&\left(\int\left(|f(x-y)||g(y)|^{\frac{1}{p}}\right)^{p}\text{d}y\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int|g(y)|^{(1-\frac{1}{p})\cdot\frac{p}{p-1}}\text{d}y\right)^{\frac{p-1}{p}}\\\\ =&\left(\int|f(x-y)|^p|g(y)|\text{d}y\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int|g(y)|\text{d}y\right)^{\frac{p-1}{p}}\\\\ \end{aligned} \]

  对上式两端作\(p\)次乘方，再对\(x\)积分，那么

  \[ \begin{aligned} \int|f*g(x)|^p\text{d}x\le&\int\left(\left(\int|f(x-y)|^p|g(y)|\text{d}y\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int|g(y)|\text{d}y\right)^{\frac{p-1}{p}}\right)^p\text{d}x\\\\ =&\int\left(\int|f(x-y)|^p|g(y)|\text{d}y\right)\left(\int|g(y)|\text{d}y\right)^{p-1}\text{d}x\\\\ =&\left(\int|g(y)|\text{d}y\right)^{p-1}\int\left(\int|f(x-y)|^p|g(y)|\text{d}y\right)\text{d}x\\\\ =&\|g\|_1^{p-1}\iint|f(x-y)|^p|g(y)|\text{d}y\text{d}x \end{aligned} \]

  根据Fubini定理

  \[ \begin{aligned} \int|f*g(x)|^p\text{d}x\le&\|g\|_1^{p-1}\iint|f(x-y)|^p|g(y)|\text{d}y\text{d}x\\\\ =&\|g\|_1^{p-1}\iint|f(x-y)|^p|g(y)|\text{d}x\text{d}y\\\\ =&\|g\|_1^{p-1}\int|g(y)|\left(\int|f(x-y)|^p\text{d}x\right)\text{d}y\\\\ =&\|g\|_1^{p-1}\int|g(y)|\|f\|_{p}^p\text{d}y\\\\ =&\|g\|_1^{p-1}\|f\|_p^p\int|g(y)|\text{d}y\\\\ =&\|g\|_1^{p}\|f\|_p^p \end{aligned} \]

  所以\(f*g\in L^p(\mathbb{R}^n)\)，且\(\|f*g\|_p\le \|f\|_p\|g\|_1\)。

• 引理：平均连续性

  若\(f\in L^p(\mathbb{R}^n),1\le p<\infty\)，则有 $$ \underset{t\rightarrow 0}{\text{lim}}\int_{\mathbb{R}^n}|f(x+t)-f(x)|^p\text{d}x=0 $$

  Note

  证明过程略，简要提一下就是，回顾之前的一个定理，首先考虑如下集合： $$ C_c(\mathbb{R}^n)={f\in C(\mathbb{R}^n)|\exist\text{紧集}A\sub\mathbb{R}^n,f|_{\mathbb{R}^n\backslash A}=0} $$ 称\(f\in C_c(\mathbb{R}^n)\)为有紧支集的连续函数。

  定理：设\(E\sub \mathbb{R}^n\)是可测集，则每个\(f\in L^p(E)\)，可用\(C_c(\mathbb{R}^n)\)中的函数在\(E\)上\(L^p\)逼近。

• 有界连续性

  如果\(f\in L^p,g\in L^q,1\le p\le \infty\)，那么\(f*g\)是有界连续函数。

  Tip

  证明

  • 有界

    根据Hölder不等式，有

    \[ \begin{aligned} |f*g(x)|\le&\int_{\mathbb{R}}|f(x-y)g(y)|\text{d}y\\\\ \le& \left(\int_{\mathbb{R}}|f(x-y)|^p\text{d}y\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}}|g(y)|^q\text{d}y\right)^{\frac{1}{q}}\\\\ =&\|f\|_p\|g\|_q \end{aligned} \]

  • 连续性

    不妨先设\(p<\infty\)，如果\(p=\infty\)，那么\(q=1\)，此时可交换\(f\)和\(g\)的顺序，然后用相同的方式处理

    \[ \begin{aligned} &|(f*g)(x+h)-(f*g)(x)|\\\\ =&|\int_{\mathbb{R}}f(x+h-y)g(y)\text{d}y-\int_{\mathbb{R}}f(x-y)g(y)\text{d}y|\\\\ \le&\int_{\mathbb{R}}|f(x+h-y)-f(x-y)|\cdot|g(y)|\text{d}y\\\\ \le&\|g\|_{q}\left(\int_{\mathbb{R}}|f(x+h-y)-f(x-y)|^{p}\text{d}y\right)^{\frac{1}{p}} \end{aligned} \]

    根据平均连续性引理：若\(f\in L^p(\mathbb{R}^n),1\le p<\infty\)，则有\(\underset{t\rightarrow 0}{\text{lim}}\int_{\mathbb{R}^n}|f(x+t)-f(x)|^p\text{d}x=0\)，那么

    \[ \begin{aligned} &\underset{h\rightarrow 0}{\text{lim}}\int_{\mathbb{R}^n}|f(x+h-y)-f(x-y)|^p\text{d}y=0\\\\ \Rightarrow&\underset{h\rightarrow 0}{\text{lim}}\hspace{0.1cm}\|g\|_{q}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|f(x+h-y)-f(x-y)|^p\text{d}y\right)^{\frac{1}{p}}=0\\\\ \Rightarrow&\underset{h\rightarrow 0}{\text{lim}}\hspace{0.1cm}|(f*g)(x+h)-(f*g)(x)|=0 \end{aligned} \]

    连续性得证，故\(f*g\)是有界连续函数。

• 光滑性&可积性

  • \(f\in C_c(\mathbb{R}),g\in L^p\)，那么\(f*g\in C(\mathbb{R})\)，since \(C_c(\mathbb{R})\sub L^p\)；

    紧支集（如果实在不知道是什么就想象成闭区间吧）上的连续函数一致连续\(\Rightarrow\)一定有界\(\Rightarrow\)一定可积

    Tip

    证明

    我们首先回顾一个定义&一个定理

    • 定义：设\(E\)是\(n\)维可测集，又设\(f_m\in L^p(E),m=1,2,...\)，若存在\(f\in L^p(E)\)，使得

    \[ \underset{m\rightarrow \infty}{\text{lim}}\|f_m-f\|_p=0 \]

    则称函数列\(\{f_m\}\)依\(L^p\)的意义收敛于函数\(f\)，记作\(f_m\overset{L^p}{\longrightarrow}f\)。

    • 控制收敛定理：设\(E\)是\(n\)维可测集，\(f,f_m\)是\(E\)上的可测函数，\(m=1,2,...\)，而且\(f_m\rightarrow f,\text{a.e.}[E]\)或\(\{f_m\}\)依测度收敛到\(f\)，若

    \[ \exist\hspace{0.2cm} g\in L^p(E),\hspace{0.5cm}1\le p<\infty \]

    使得

    \[ |f_m(x)|\le g(x),\text{a.e.}[E],\hspace{0.3cm}m=1,2,... \]

    则\(f_m\overset{L^p}{\longrightarrow}f\)。

    设\(f\)的紧支集\(\text{supp}(f)\sub[-N,N]\)，目标是证明

    \[ \underset{h\rightarrow 0}{\text{lim}}\int_{\mathbb{R}}\left(f(x_0+h-y)-f(x_0-y)\right)g(y)\text{d}y=0,\hspace{0.2cm}\forall x_0\in\mathbb{R} \]

    不妨先假设\(|h|<1\)，如果\(|y|>N+|x_0|+1\)，\(|x_0+h-y|\ge|y|-|x_0|-h>N\)，从而有

    \[ \begin{aligned} &|\int_{\mathbb{R}}[f(x_0+h-y)-f(x_0-y)]g(y)\text{d}y|\\\\ \le&\int_{\mathbb{R}}|f(x_0+h-y)-f(x_0-y)|\cdot|g(y)|\text{d}y\\\\ \le&\int_{-N-|x_0|-1}^{N+|x_0|+1}|f(x_0+h-y)-f(x_0-y)|\cdot|g(y)|\text{d}y\\\\ \end{aligned} \]

    令\(A=N+|x_0|+1\)，上式可进一步写作

    \[ \begin{aligned} &\int|f(x_0+h-y)-f(x_0-y)|\cdot|g(y)|\cdot\chi_{[-A,A]}\text{d}y\\\\ \le&\int(|f(x_0+h-y)|+|f(x_0-y)|)\cdot|g(y)|\cdot\chi_{[-A,A]}\text{d}y\\\\ \le&\int2\|f\|_{\infty}\cdot|g(y)|\cdot\chi_{[-A,A]}\text{d}y\\\\ \end{aligned} \]

    由于\(2\|f\|_{\infty}\cdot|g(y)|\cdot\chi_{[-A,A]}\in L^p\sub L^1\)（有限集上），根据L.C.D.T，有

    \[ \underset{h\rightarrow 0}{\text{lim}}\int_{\mathbb{R}}\left(f(x_0+h-y)-f(x_0-y)\right)g(y)\text{d}y=0,\hspace{0.2cm}\forall x_0\in\mathbb{R} \]

    这里的\(f_m(y)=(f(x_0+h(m)-y)-f(x_0-y))g(y)\)，\(f=0\)，另一种视角是将\(f_m\)视为\(f(x_0+h(m)-y)g(y)\)，\(f\)看作\(f(x_0-y)g(y)\)，放缩时只需要放到\(1\)倍的\(\|f\|_{\infty}\)就可以了，同样可证得。

  • \(f\in C_c^1,g\in L^p\Rightarrow f*g\in C^1\cap L^p\)；

    注意这里\(C_c^1\)的含义是紧支集上的一阶连续可导函数，\(C^1\)是一阶连续可导函数

    Tip

    证明思路同上，也是用控制收敛定理，具体的放缩控制部分如下：

    \[ \begin{aligned} &\underset{h\rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{f*g(x_0+h)-f*g(x_0)}{h}\\\\ =&\underset{h\rightarrow 0}{\text{lim}}\int_{\mathbb{R}}\left[\frac{f(x_0+h-y)-f(x_0-y)}{h}\right]g(y)\text{d}y\\\\ \end{aligned} \]

    其中

    \[ \left[\frac{f(x_0+h-y)-f(x_0-y)}{h}\right]g(y)\le\|f^{\prime}\|_{\infty}|g(y)|\chi_{[-A,A]} \]

  • \(f\in C_c^{\infty},g\in L^p\Rightarrow f*g\in C^{\infty}\cap L^p\)

    \(C_c^{\infty}\)表示紧支集上的无穷阶导数依然连续的函数，\(C^{\infty}\)是无穷阶导数依然连续的函数

• 恒等逼近

  • 定义：设\(\varphi(x)\)是定义在\(\mathbb{R}^n\)上的函数，对于任意的常数\(\varepsilon>0\)，记

    \[ \varphi_{\varepsilon}(x)=\varepsilon^{-n}\varphi\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) \]

  • 定理：设非负函数\(\varphi(x)\in L^1(\mathbb{R}^n)\)，且\(\|\varphi\|_1=1\)。若

    \[ f\in L^p(\mathbb{R}^n),\quad 1\le p<\infty \]

    则有

    \[ \underset{\varepsilon\rightarrow0}{\text{lim}}\|\varphi_{\varepsilon}*f-f\|_p=0 \]

  Tip

  证明：

  以\(\mathbb{R}\)上的函数为例，根据卷积的定义

  \[ \begin{aligned} \varphi_{\varepsilon}*f(x)=&\int_{\mathbb{R}}f(x-y)\varphi_{\varepsilon}(y)\text{d}y\\\\ =&\int_{\mathbb{R}}f(x-y)\cdot\varepsilon^{-1}\cdot\varphi\left(\frac{y}{\varepsilon}\right)\text{d}y\\\\ =&\int_{\mathbb{R}}f(x-y)\cdot\varphi\left(\frac{y}{\varepsilon}\right)\text{d}\frac{y}{\varepsilon}\\\\ =&\int_{\mathbb{R}}f(x-\varepsilon y)\cdot\varphi\left(y\right)\text{d}y\\\\ \end{aligned} \]

  \(\varphi(x)\in L^1(\mathbb{R}^n)\)是非负函数，且\(\|\varphi\|_1=1\)，所以

  \[ \int_{\mathbb{R}}\varphi(y)\text{d}y=1\Rightarrow\int_{\mathbb{R}}f(x)\varphi(y)\text{d}y=f(x) \]

  进一步可得

  \[ \begin{aligned} |\varphi_{\varepsilon}*f(x)-f(x)|&=\Big|\int_{\mathbb{R}}[f(x-\varepsilon y)-f(x)]\cdot\varphi\left(y\right)\text{d}y\Big|\\\\ &\le\int_{\mathbb{R}}|f(x-\varepsilon y)-f(x)||\varphi(y)|^{\frac{1}{p}}|\varphi(y)|^{\frac{1}{q}}\text{d}y\\\\ &\le\left[\int_{\mathbb{R}}|f(x-\varepsilon y)-f(x)|^p|\varphi(y)|\text{d}y\right]^{\frac{1}{p}}\cdot\left[\int_{\mathbb{R}}|\varphi(y)|\text{d}y\right]^{\frac{1}{q}}\\\\ &=\left[\int_{\mathbb{R}}|f(x-\varepsilon y)-f(x)|^p|\varphi(y)|\text{d}y\right]^{\frac{1}{p}} \end{aligned} \]

  对上式两端作\(p\)次乘方再对\(x\)作积分，运用Fubini定理得

  \[ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}}|\varphi_{\varepsilon}*f(x)-f(x)|^p\text{d}x&=\iint_{\mathbb{R}}|f(x-\varepsilon y)-f(x)|^p|\varphi(y)|\text{d}y\text{d}x\\\\ &=\iint_{\mathbb{R}}|f(x-\varepsilon y)-f(x)|^p|\varphi(y)|\text{d}x\text{d}y\\\\ &\le\int_{\mathbb{R}}|\varphi(y)|\left\{\int_{\mathbb{R}}|f(x-\varepsilon y)-f(x)|^p\text{d}x\right\}\text{d}y \end{aligned} \]

  令\(\varepsilon\rightarrow0\)，因为

  \[ \int_{\mathbb{R}}|f(x-\varepsilon y)-f(x)|^p\text{d}x\le2^p\|f\|_p^p \]

  由控制收敛定理得

  \[ \underset{\varepsilon\rightarrow 0}{\text{lim}}\int_{\mathbb{R}}|\varphi_{\varepsilon}*f(x)-f(x)|^p\text{d}x\le\int_{\mathbb{R}}|\varphi(y)|\left\{\underset{\varepsilon\rightarrow 0}{\text{lim}}\int_{\mathbb{R}}|f(x-\varepsilon y)-f(x)|^p\text{d}x\right\}\text{d}y=0 \]

  • e.g.

    Note

    1. 函数\(\varphi(x)=\chi_{[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]}\)，则 $$ \varphi_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{\varepsilon}\chi_{[-\frac{\varepsilon}{2},\frac{\varepsilon}{2}]}(x) $$ 任意\(f\in L^p(\mathbb{R})\)，有 $$ \varphi_{\varepsilon}*f(x)=\frac{1}{\varepsilon}\int_{x-\frac{\varepsilon}{2}}^{x+\frac{\varepsilon}{2}}f(y)\text{d}y:=f_{\varepsilon}(x) $$ 所以由Young's不等式，\(\|f_{\varepsilon}\|_p\le\|f\|_p\)，且由恒等逼近，\(f_{\varepsilon}\overset{L^p}{\longrightarrow}f\).

    2. 在\((0,1)\)上定义函数 $$ y=\varphi(x)=\left[1+\exp\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{x}\right)\right]^{-1} $$ 然后令 $$ \begin{cases} \varphi(0)=1,\\ \varphi(x)=0,&x\ge 1\\ \varphi(x)=\varphi(-x),&x<0 \end{cases} $$ 可证明\(\varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R})\)，记 $$ \varphi_n(x)=n\varphi(nx)/|\varphi|_1,\quad n=1,2,... $$ 任给 $$ f\in L^p(\mathbb{R}),\quad 1\le p<\infty $$ 令 $$ f_n=\varphi_n *f\Rightarrow f_n\in C^{\infty}(\mathbb{R}),f_n\overset{L^p}{\longrightarrow}f $$ 结论：每个函数\(f\in L^p(\mathbb{R})\)可用无限次可微函数\(L^p\)逼近，换句话说，\(C^{\infty}(\mathbb{R})\)是\(L^p(\mathbb{R})\)的稠密子空间；

    3. 考虑函数 $$ W(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2} $$ 类似地，可得到结论：每个\(f\in L^p[a,b]\)可用多项式\(L^p\)逼近，因此区间\([a,b]\)上的全体多项式是空间\(L^p[a,b]\)的稠密线性子空间。

傅立叶变换

Definition

• 对于任意的\(f\in L(\mathbb{R})\)，令 $$ \widehat{f}(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-itx}\text{d}x $$

  根据助教习题课上的讲解，还有一种等价的写法如下所示，虽然笔者尚不清楚两者为什么是等价的。

  Note

  还有一种写法： $$ \widehat{f}(t)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi\cdot itx}\text{d}x $$

• 速降函数空间\(S\) $$ f\in S\Leftrightarrow\forall \alpha,\beta\in \mathbb{N},\quad\underset{x\in\mathbb{R}}{\text{sup}}\hspace{0.1cm}|x|^{\alpha}|f^{(\beta)}(x)|<\infty $$

• 逆变换：若\(g\in S(\mathbb{R})\)，则 $$ g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}\widehat{g}(t)e^{ixt}\text{d}t $$

Tip

建议不要管这么多，直接记两个公式： $$ \begin{aligned} \hat{f}(\xi)=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-ix\xi}f(x)\text{d}x\\ \check{f}(\xi)=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{ix\xi}f(x)\text{d}x\\ \end{aligned} $$

Properties

• 设\(\tau_hf(x)=f(x-h)\)，则 $$ \widehat{\tau_hf(x)}=e^{-ih\xi}\widehat{f}(\xi) $$

• 与上一个性质类似的，有 $$ \widehat{e^{ihx}f}(\xi)=\tau_h\widehat{f}(\xi) $$

• 设\(f_{\lambda}(x)=\frac{1}{\lambda}f(\frac{x}{\lambda})\)，则 $$ \widehat{f_{\lambda}}(\xi)=\widehat{f}(\lambda\xi) $$

• 卷积 $$ \widehat{f*g}(\xi)=\sqrt{2\pi}\cdot\widehat{f}(\xi)\cdot\widehat{g}(\xi) $$

• 若\(f\in L^1\cap C^1\)且\(f^{\prime}\in L^1\)，那么\(\widehat{f^{\prime}}(\xi)=i\xi\widehat{f}(\xi)\)

  Tip

  \[ \begin{aligned} \widehat{f^{\prime}}(\xi)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-ix\xi}f^{\prime}(x)\text{d}x\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}f(x)e^{-ix\xi}\Big|_{-\infty}^{\infty}-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(-i\xi)\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }\text{d}x\\\\ &=i\xi\widehat{f}(\xi) \end{aligned} \]

  该结论还可以进一步推广，即

  \[ \widehat{f^{(k)}}(\xi)=(i\xi)^k\widehat{f}(\xi) \]

Plancherel & Paserval

Plancherel定理

存在\(L^2(\mathbb{R})\)到自身的一个一一在上线性映射\(\Psi\)，它满足 $$ \Psi f=\widehat{f},\quad f\in S(\mathbb{R}) $$ 且 $$ |\Psi f|_2=|f|_2,\quad f\in L^2(\mathbb{R}) $$

Parseval等式

\[ \int_{\mathbb{R}}f(x)\overline{g}(x)\text{d}x=\int_{\mathbb{R}}\widehat{f}(t)\overline{\widehat{g}(t)}\text{d}t \]

或者另一种写法： $$ \int_{\mathbb{R}}f(x)\overline{\widehat{g}}(x)\text{d}x=\int_{\mathbb{R}}\widehat{f}(t)\overline{g(t)}\text{d}t $$

度量空间

Definition

• 度量空间(Metric Space)

  设\(X\)是一个非空集，若存在\(X\)上一个双变量实值函数\(\rho(x,y):X\times X\rightarrow\mathbb{R}_{\ge 0}\)，满足下列3个条件：

  • 正定性 $$ \rho(x,y)\ge 0,\text{ 而且 }\rho(x,y)=0\text{ 当且仅当 }x=y $$

  • 对称性 $$ \rho(x,y)=\rho(y,x) $$

  • 三角不等式 $$ \rho(x,z)\le\rho(x,y)+\rho(y,z) $$

  \(\forall x,y,z\in X\)，则称\(\rho\)为\(X\)上一个度量（距离），\(X\)称为度量空间（距离空间）。一个以\(\rho\)为度量的度量空间\(X\)记作\((X,\rho)\)。

• 开集

  • 邻域
  • 内点

• 闭集

  • 极限

Properties

• 完备性
• 稠密性
• 可分性
• 列紧性
• 紧集
• 连续映射

赋范线性空间

Definition

• 范数&赋范线性空间

  设\(X\)是复（或实）线性空间，对于\(X\)中每个元素\(x\)，按照一定法则使其与一非负实数\(\|x\|\)相对应，满足

  • 正定性：\(\|x\|>0\)，且\(\|x\|=0\Leftrightarrow x=0\)；

  • 三角不等式：\(\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in X\)；

  • 齐次性：\(\|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|,\quad \alpha\in \mathbb{K},x\in X\)；

  其中\(\mathbb{K}\)是复（或实）线性赋范空间，\(\|x\|\)为元素\(x\)的范数或模。

• Banach空间

  完备的线性赋范空间称为Banach空间。